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ABCD矩阵(ABCD matrix)

定义:
一个2*2矩阵,用来描述光学元件对激光光束的作用。
ABCD矩阵或者光线传输矩阵是一个2*2矩阵,是描述某一光学元件在激光光束中的作用。可以用于光线光学,其中光以几何的射线传输,或者在高斯光束传输时可以用到。ABCD矩阵计算时通常需要采用傍轴近似,也就是光束角度或者发散角在计算过程中是非常小的。 

光线光学 
最初,为了计算横向偏移为 r,偏移角为θ 的几何光束的传输发展了这一概念。当角度很小时(参阅傍轴近似),在经过光学元件之前与之后,坐标r和θ 之间具有线性关系。下面的矩阵方程可以用来计算该光学元件对参数的改变情况: 

其中加引号的量(方程左侧)代表光束经过光学元件后的坐标值。ABCD矩阵是每一光学元件的特征量。 
例如,焦距为f的薄透镜的ABCD矩阵为: 

这表明偏移r 是不变的,而偏移角θ 的变化正比于r。 
在自由空间中传输d 距离,用矩阵表示为: 

表明偏移角不变,而偏移r根据角度会增大或者减小。 
下面有更多关于ABCD矩阵的例子。 
光束在电介质中传输时,可以采用一个更方便的修正后的光束矢量,即将角度变为其与折射率的乘积。这在有些情况下可以简化矩阵。 

高斯光束的传输 
ABCD矩阵可用来计算光学元件对高斯光束参数的影响。为了简化计算需引入参数q,包含了光束半径 w和波前的曲率半径R的信息: 

下面的方程表示参数q经过光学元件后的变化: 
 

重要光学元件的ABCD矩阵 
下面给出一些常用光学元件的ABCD矩阵。 
空气中传输距离d后: 

(如果在透明介质中传输,长度需要除以折射率,如果采用以上提到的修正的定义,那么下面的成分,也就是角度,需要乘以折射率。) 
焦距为f的透镜(f大于0代表会聚透镜): 

弯曲半径为R的镜子(>0代表凹透镜),水平面上的入射角为θ: 

其中Re = R cos θ 是在切平面上(水平方向),而矢状面(竖直方向)则有Re = R / cos θ。 
管: 

其中径向变化的折射率为:

许多教科书中给出了很多其它光学元件的ABCD矩阵。 

多个光学元件的结合 
当光束通过几个光学元件后(包含其间的空气),这表明矢量 (r θ) 需要乘以多个矩阵。可以将这些单个矩阵的乘积用另一个矩阵表示。一定要注意的是,第一个透过的光学元件的矩阵是处于矩阵乘积的最右侧。 

典型应用 
ABCD矩阵算法的一些典型应用包括: 

  • 很多时候需要研究激光光束通过一些光学装置后的情况。光纤的几何路径和光束半径的演化都可以通过这种算法计算出来。 
  • 光束在谐振腔中循环一周后参数的变化也可以由ABCD矩阵描述。横向的谐振腔模式可以通过矩阵元素得到。 
  • 一种扩展的算法采用了ABCDEF矩阵(3*3矩阵,其中包含一些常数),它可以用来计算激光器谐振腔的校准灵敏度。 

注意不要将ABCD矩阵与计算多层介质膜的反射和透射性质的矩阵相混淆。